*** Appels téléphoniques

Un commercial appelle  $n$  clients. Chaque client a une probabilité de répondre à l'appel avec une probabilité  $p$ . Une fois tous les clients appelés une première fois, le commercial appelle de nouveau tous les clients qui n'ont pas répondu au premier appel.
On appelle  $X$  la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au premier appel et  $Y$  la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au deuxième appel.

1. Déterminer la loi de  $X$ . On précisera ses paramètres.

2. En déduire la valeur de  $E(X)$ .

3. Soit  $m$  un entier naturel compris entre 0 et $n$ . Soit  $k$  un entier compris entre 0 et $20-m$ .
Que vaut  $P_{X=m}(Y=k)$  ?

4. On considère la variable aléatoire  $Z=n-X-Y$ .
    a. Que représente cette variable aléatoire ?
    b. Justifier que  $Z$  suit une loi binomiale de paramètres  $n$  et  $(1-p{)}^2$ .
    c. En déduire l'espérance de  $Z$  puis celle de  $Y$ .
    d. Calculer la variance de  $Z$ . Peut-on en déduire celle de  $Y$ ?