*** Appels téléphoniques

Un commercial appelle  \(n\)  clients. Chaque client a une probabilité de répondre à l'appel avec une probabilité  \(p\) . Une fois tous les clients appelés une première fois, le commercial appelle de nouveau tous les clients qui n'ont pas répondu au premier appel.
On appelle  \(X\)  la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au premier appel et  \(Y\)  la variable aléatoire qui donne le nombre de clients ayant répondu au deuxième appel.

1. Déterminer la loi de  \(X\) . On précisera ses paramètres.

2. En déduire la valeur de  \(E(X)\) .

3. Soit  \(m\)  un entier naturel compris entre 0 et \(n\) . Soit  \(k\)  un entier compris entre 0 et \(20-m\) .
Que vaut  \(P_{X=m}(Y=k)\)  ?

4. On considère la variable aléatoire  \(Z = n - X - Y\) .
    a. Que représente cette variable aléatoire ?
    b. Justifier que  \(Z\)  suit une loi binomiale de paramètres  \(n\)  et  \((1-p)^2\) .
    c. En déduire l'espérance de  \(Z\)  puis celle de  \(Y\) .
    d. Calculer la variance de  \(Z\) . Peut-on en déduire celle de  \(Y\) ?